Red-Black Tree
배경
이진 검색 트리에서 최악의 경우, 트리의 높이가 노드의 개수인 n과 같아질 수 있으므로, 최악의 시간복잡도가 O(n)이 될 수 있다.
이런 문제를 개선하기 위해서 보다 균형잡힌 트리 구조인 레드 블랙 트리 구조를 생각해보게 되었다.
개념
이진탐색트리의 일종이다.
균형잡힌 트리 : 높이가 logn
search, insert, delete 연산을 최악의 경우에도 O(logn) 시간을 지원하게 된다.
각 노드는 하나의 키, 왼쪽자식, 오른쪽 자식, 부모노드의 주소를 저장하고 있다. 이진검색트리의 경우, 부모는 굳이 저장하지 않는 경우가 일반적이었는데, 레드-블랙 트리의 경우는 부모 노드의 주소를 저장하는 것이 더 편하므로 저장한다.
자식 노드가 존재하지 않을 경우는 nil 노드라고 부르는 특수한 노드가 있다고 가정한다.
따라서 모든 리프노드는 nil 노드가 되고 모든 값이 있는 노드들은 내부 노드로 간주된다.
루트의 부모도 nil 노드라고 가정하고, 노드들은 내부 노드와 nul 노드로 분류된다.
조건
레드블랙트리를 충족하기 위해서는 다음과 같은 조건을 충족해야한다.
각 노드는 red 이거나 black 이고,
루트 노드는 black 이며,
모든 리프노드는 black 이고
red 노드의 부모와 자식노드들은 전부 black 이고, (즉, red 노드는 연속되어 등장하지 않고)
모든 노드에 대해서 그 노드들로부터 자손인 리프노드에 이르는 모든 경로에는 동일한 개수의 black 노드가 존재한다.
높이
노드 x의 높이 h(x) 는 자신으로부터 리프노드까지 가는 가장 긴 경로에 포함된 엣지의 개수이다.
노드 x의 블랙 높이 bh(x) 는 x로부터 리프노드까지의 경로상의 블랙 노드의 개수이다. (노드 x자신은 불포함한다.)
nil 노드를 포함한다.
높이가 h인 노드의 블랙 높이는 bh >= h/2
조건 4번에 의해서 red 노드는 연속해서 나올 수 없으므로
노드 x를 루트로 하는 임의의 서브트리는 적어도 2^bh(x) - 1개의 내부 노드를 포함한다. (수학적 귀납법에 의해)
n개의 내부노드를 가지는 레드블랙트리의 높이는 2log(n+1) 이하이다.
n >= 2^bh -1 >= 2^h/2 -1 이므로, 여기서 bh 와 h는 각각 루트노드의 블랙높이와 높이이다.
Left and Right rotation
bst 에서 한 노드에 대해서 부분적으로 노드의 구조를 수정하는 것이다.
시간 복잡도는 O(1) 이며, 이진탐색트리의 특성을 유지한다.
위의 경우, 베타만 x에 합해진다. 이렇게 변경하더라도 이진탐색트리의 특성이 유지되는 것에 주목하자.
원래 베타는 x보다는 크고, y보다는 작은 특성이 있었는데, 위와 같이 구조가 바뀌어도 전혀 문제가 없다!
Search
binary search tree 와 일치한다.
insert
위반될 가능성이 있는 조건들
2번째 조건 : 루트 노드는 블랙이어야 한다.
만약 원래 빈 트리였다면, 새로 입력한 노드가 레드이므로 위반될 가능성이 있다.
그냥 레드를 블랙으로 바꾸면 된다.
4번째 조건 : z의 부모 p[z] 가 red 이면 위반이다.
결국 문제가 되는 것은 4번 조건을 위반할 경우!
해결방법
반복문을 돈다. 삽입하는 노드 z는 red 노드이다.
삽입할 노드 z와 z의 부모노드를 쌍으로 위로 계속 올려준다.
두 부모노드 p[z]가 black 이 되면 종료한다. 조건 2가 위반일 경우 (즉, 루트 노드까지 타고타고 올라간 경우) z를 블랙으로 바꿔주고 종료한다.
위반 조건 해소하기
케이스를 6가지로 나누어서 살펴보려고 한다. 이 때, 1-3번케이스는 부모노드가 조상노드의 왼쪽 자식인 경우이고, 4-6번 케이스는 오른쪽 자식인 경우이다.
case 1. 삼촌이 red 인 경우
나의 부모 A와 삼촌인 D를 모두 블랙으로 바꾸어주고, 조상노드 C를 레드로 바꾸어준다.
최악의 경우, 이때 조상의 조상노드가 이미 레드여서 조상의 조상 p[c] 와 c가 같은 레드 색을 갖게 되는 경우인데, 이 경우가 바로 위에서 말한 레드 트리를 한 쌍으로 루트까지 계속 올려주는 경우를 말한다.
루트까지 가게되는 경우가 최악이지만, 그 경우에도 간단하게 루트 노드의 색만 바꾸어주면 해결된다.
case 2, 3. z의 삼촌이 black 인 경우
case 2. z가 부모의 오른쪽 자식인 경우
p[z] 에 대해서 left rotation 을 해서 경우 3로 바꾸어준다.
case 3. z가 부모의 왼쪽 자식인 경우
할아버지를 중심으로 right rotation 을 한다.
black height, red-red 문제 모두 해결되었다.
case 4 ~ 6 : case 1, 2, 3과 대칭적이므로 생략한다.
위반조건 해소 코드 - RB insert fixup
반복실행 : p(z) != null && color(p(z)) == red
insert 의 시간복잡도
BST 에서의 insert : O(logn)
RB-INSERT-FIXUP
경우 1에 해당할 경우, z가 2레벨 상승한다.
경우 2-3에 해당할 경우, O(1)
따라서 트리의 높이에 비례하는 시간복잡도를 갖게 된다.
즉, insert 의 시간복잡도는 O(logn)
delete
역시 보통의 BST 에서처럼 delete 한다.
실제로 삭제된 노드 y가 red 였으면 종료한다.
y가 black 인 경우, RB-DELETE-FIXUP 을 호출한다.
위반 케이스에 대한 예외처리 - RB-DELETE-FIXUP(T, x)
여기서 x값은 nil 노드일 수 있다. 삭제된 노드 y의 자식노드가 없었음을 의미한다.
만약 x값이 red 라면, 해당 값만 black 으로 바꾸어주면 되니까 쉽게 해결이 가능해진다.
발생할 수 있는 예외는 세 가지이다.
2번 조건 : y가 루트였고, x가 red 인 경우, 위반하게 된다.
4번 조건 : p[y]와 x가 모두 red 일 경우, 위반이다.
5번 조건 : 원래 y를 포함했던 모든 경로는 이제 black 노드가 하나 부족하게 된다.
노드 x에 extra black 을 부여해서 일단은 조건 5를 만족한다.
노드 x는 double black 혹은 red & black
아이디어
extra black 을 트리의 위쪽으로 올려보낸다.
x가 red & black 상태가 되면, 그냥 black 노드로 만들고 끝내버린다.
x가 루트가 되면 그냥 extra black 을 제거한다. (루트가 블랙을 1개 갖고 있건 2개 갖고 있건 상관없다)
loop invariant
x는 루트가 아닌 double black 노드이고
w를 x의 형제노드라고 한다.
x자체가 double black 노드이기 때문에 w는 반드시 존재해야한다. (아니면 black height 가 성립되지 않는다)
RB delete fixup
총 8가지 케이스로 해결한다. 케이스 1-4 와 케이스 5-8 은 대칭적.
케이스 1-4는 x가 부모의 왼쪽에 있는 경우이고, 케이스 5-8은 x가 부모의 오른쪽에 있는 경우를 말한다.
케이스 1. w가 red 인 경우
w가 red 이므로 w의 자식들은 black 일수밖에 없고,
w를 black 으로, p[x] 를 red 로 바꾼 뒤에,
p[x] 에 대해서 left rotation 을 적용한다.
x의 새로운 형제 노드는 원래 w의 자식노드가 된다. 따라서 black 노드가 이다.
이 경우, 케이스 1-> 케이스 2, 3, 4로 변경되었다.
케이스 2. w가 black이고 w의 자식들도 black 인 경우
x의 extra-black 을 뺏고, w를 red 로 바꾸어준다.
p[x]에게 뺏은 extra black 을 넘겨준다. 그러면 B가 black 이 된다.
p[x]를 새로운 x 로 삼고 계속 진행한다.
만약 p[x]가 black이었다면, 새로운 double black 노드가 되어서 x로 삼고 반복 수행한다.
만약 경우 1에서 이 경우에 도달했다면, p[x] 는 red 였고, 따라서 새로운 x는 red & black 이 되어서 종료되게 된다.
경우 1에서 왔다면 경우 2를 처리하고 바로 종료된다.
케이스 3. w가 black이고 w의 왼쪽 자식이 red 인 경우
w에 대해서 right rotation 을 한번 적용하여 w를 red로, w의 왼자식을 black 으로 바꾸는 전략이다.
x의 새로운 형제w는 오른쪽 자식이 red 가 된다. 이는 4번 케이스이다.
케이스 4. w가 black, w의 오른쪽 자식이 red 인 경우
w의 색을 현재 p[x]의 색으로 바꾼다.
p[x]를 black 으로, w의 오른 자식을 black 으로 바꾼다.
p[x]에 대해서 left-rotation 을 적용한다.
x의 extra-black 을 제거하고 종료한다.
정리
시간복잡도
BST 에서의 DELETE O(logn)
RB-DELETe-FIXUP : O(logn)
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