BFS, Breadth First Search
너비 우선 순회
그래프의 순회
순회 : 그래프의 모든 노드를 방문하는 일
대표적인 두 가지 방법
BFS, Breadth-first search : 너비 우선 순회
DFS, Depth-first search : 깊이 우선 순회
BFS
노드들을 동심원의 형태로 순회한다.
출발노드가 주어지거나 임의의 노드 1개를 출발노드로 정한다.
출발노드 S에서 우선 S를 방문처리하고
S와 거리가 1인 바로 인접한 노드들을 방문하고,
그 이후로는 S로부터 거리가 2인, 거리가 3인 노드들을 차례대로 방문하는 방식이다.
정리하자면, 다음과 같다.
L0 = S -> 시작점
L1 = L0의 모든 이웃 노드들
L2 = L1의 이웃들 중에서 L0에 속하지 않는 노드들
L3 = L2의 이웃들 중에서 L1에 속하지 않는 노드들
Ln = Ln-1 의 이웃들 중에서 Ln-2에 속하지 않는 노드들
큐를 이용하여 표현하기
방문 여부를 체크하는 배열과 노드들을 넣을 큐를 하나 준비한다.
시작점 1을 우선 방문 체크표시하고, 큐에 넣는다.
큐가 empty 가 될 때까지 아래를 반복한다.
큐에서 제일 첫번째 노드인 1을 빼고 1과 인접한 노드 중 아직 방문 표시가 안된 2, 3 노드를 큐에 넣는다.
다시 제일 첫번째 노드인 2를 뺀다. 그리고 2와 인접한 노드 중에서 아직 방문 표시가 안된 4, 5를 큐에 넣는다.
3을 빼고 -> 7, 8을 넣는다.
4를 뺀다. 인접한 노드 중 방문표시가 안된 노드가 없으므로 아무것도 하지 않는다.
5을 뺀다. 아직 방문 안한 6을 넣는다.
7을 뺀다.
8을 뺀다.
그리고 마지막으로 6을 뺀다.
큐가 비었음을 확인하고, 노드 방문순서를 출력한다. 1-> 2-> 3-> 4-> 5-> 7-> 8-> 6
코드로 구현하기
그래프 G와 출발점 S가 주어진다.
먼저 방문체크용 배열과 큐 Q를 생성하고 S를 큐에 넣는다. S를 방문표시한다.
큐가 비어있지 않는 동안 아래를 반복한다.
큐에서 요소 u를 하나 뽑고
u 요소와 인접한 v를 방문표시한 뒤, 큐에 넣는다.
BFS로 최단경로 구하기
에지를 경로로 간주한다.
출발점 S로부터 레벨 1인 L1까지의 길이는 당연히 1이다. S와 인접한 레벨 1은 거리가 1이기 때문이다.
나머지 노드들에 대해서도 같은 방식이 적용되므로, 당연히 s에서 Li 에 속한 노드까지의 최단 경로의 길이는 i이다.
구현하기
입력 : 방향 혹은 무방향 그래프 G=(u, v), 그리고 출발노드 s 가 주어진다.
출력 : 모든 노드 v에 대해서
d[v] = s로부터 v까지의 최단 경로의 길이 = 에지의 개수
𝛑[v] = s로부터 v까지의 최단경로상에서 v의 직전 노드 = predecessor
시간복잡도
모든 노드는 방문 여부를 체크한 뒤, 큐에 넣어지기 때문에 n번 while 문을 순회하게 된다.
그리고 모든 노드가 두 번씩 구현되므로, 시간 복잡도는 O(n+m) 으로 표현되게 된다.
BFS 트리
BFS 트리에서는 S부터 V까지 가는 최단 경로를 알 수 있다.
어떤 에지도 2개의 layer 를 건너가지 않는다. 동일 레이어의 노드를 연결하거나 혹은 1개의 레이어를 건너간다.
최단경로 출력하기
살펴본 바와 같이, BFS 는 단순히 그래프의 모든 노드를 방문할 뿐만 아니라, 각 노드들 간의 최단 경로 및 predecessor 까지 알 수 있다.
최단경로를 출력해볼까.
S를 출발점, V를 임의의 노드라고 보았을 때, 만약에 s=v인 경우, 시작점이 곧 목적지가 되므로, 최단 경로는 자기 자신인 s를 출력하면 된다.
만약에 직전노드인 𝛑 [v] = null 이라면, 출발점이거나 서로 연결되지 않았거나 한 경우인데, 이때, 출발점은 이미 위에서 걸러졌으므로, 서로 연결되지 않은 노드라고 볼 수 있겠다.
위의 케이스를 모두 통과했다면, 재귀함수를 통해 표현할 수 있다.
BFS 에서는 그래프가 disconnected 이거나 방향 그래프라면, 모든 노드가 방문되지 않을 수 있다.
이 때는 BFS 를 여러번 반복해서 모든 노드를 방문해야한다.
방문되지 않은 임의의 노드 v부터 시작하여 모든 노드가 방문될때까지 BFS(G, v) 를 반복한다.
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