MST 1 - Kruskal 의 알고리즘
MST 모든 노드들을 잇는 최소비용의 경로를 구하는 알고리즘
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엣지들을 가중치의 오름차순으로 정렬한 뒤, 엣지들을 그 순서대로 하나씩 선택해가는 알고리즘이다.
단, 이미 선택된 엣지들과 사이클을 형성하면 선택하지 않는다.
n-1개의 엣지가 선택되면 종료한다.
먼저 가중치가 1인 엣지를 선택한다.
1인 엣지가 또 없다면, 2인 엣지를 선택한다. 2개 이상일 경우 아무거나 먼저 선택해도 상관없다.
그다음 큰 4를 선택하고
다음 순서인 6을 선택하려고 하는데, 6을 선택하는 순간, 사이클이 만들어지게 된다. 따라서 6은 건너뛴다.
가중치가 7인 엣지로 이동한다. 첫번째 7은 선택했으나, 두번째 7은 사이클을 만들 수 있으므로 스킵한다.
그 다음 엣지인 8, 역시 사이클을 만들지 않는 1개만 선택한다.
가중치가 9인 엣지까지 선택했다면, 그만한다. 이미 엣지의 개수가 노드의 개수보다 1개 적은 8개가 되었기 때문이다.
kruskal 알고리즘의 임의의 한 단계를 생각해본다.
A를 현재까지 알고리즘이 선택한 엣지의 집합이라고 하고, A를 포함하는 MST 가 존재한다고 가정해보자.
초기상태에는 선택된 엣지가 없다.
각각의 연결요소를 하나의 집합으로 표현한다.
서로 다른 집합에 속한 원소를 연결하는 엣지라면 사이클을 만들지 않는다. 즉, 같은 집합 내의 두 개의 노드를 연결하는 엣지는 사이클을 만든다.
예를 들어보자. 아래의 그림에서는 아래와 같은 식으로 진행되는 것이다.
{h}, {g} -> 서로 다른 집합이므로 합쳐준다.
{i}, {c} -> 서로 다른 집합이므로 또 합쳐준다.
서로소인 집합들을 표현해야한다. = disjoint 한 sets 들을 표현해야한다 -> find(u), union(u, v)
union-find problem 이라고 부르기도 한다. 일반적으로는 아래와 같이 풀어간다.
각 집합을 하나의 트리로 표현한다.
집합의 각 요소들이 트리의 노드가 된다. 누가 루트이고 누가 부모이든지 상관이 없다.
이곳에서는 자식노드부터 부모노드까지 타고 올라가는 식으로 연산을 할 예정이기 때문에 트리의 각 노드는 자식노드가 아닌 부모노드의 주소를 가지게 된다.
각각의 노드는 하나의 부모노드 주소만 가지기 때문에 일반적인 하향식 트리 구조보다 구현하기가 훨씬 간단하다.
상향식 트리구조이기 때문에 1차원 배열로 표현할 수 있다.
자신이 속한 트리의 루트를 찾는다. 서로 다른 두 트리의 루트가 같다면, 같은 집합에 속해있는 것으로 간주한다.
이를 위해 findSet(v)에서는 루트 노드를 반환하는 로직이 필요하다. 부모노드를 표시한 배열 p에서 현재 index 값과 p[index] 값이 같아야 루트노드이므로, 해당 위치까지 반복하여 재귀함수를 호출해준다.
이때 시간복잡도는 트리의 높이인 h만큼 소요될 수 있으니, o(h)가 되고, h는 다시 최악의 경우, 각 트리가 일렬로 나열되어 하나의 자식이 하나의 부모와 연결된 구조로 쌓여있을 경우, n이 될 수 있다.
O(h) -> O(n)
두 트리를 합하는 연산인 union(u, v)에서는 우선 서로 다른 두 트리의 루트 x, y를 각각 찾는다.
그리고는 한쪽의 루트를 다른 쪽 트리의 부모로 지정하면, 두 트리가 합쳐지게 된다.
이때 시간복잡도는 두 트리의 루트를 찾는데 걸리는 시간 O(h)가 소요되고, 루트 노드를 합치는데 드는 시간은 O(1) 이 된다.
union(u, v)의 연산을 좀 더 효율적으로 할 수 있는 방법을 찾아본다. 우선 시간복잡도에 가장 큰 영향을 미치는 것은 트리의 높이 h이므로, 결국 관건은 최종 트리의 높이를 최소한으로 유지하는 것이다.
이를 위해 weighted union 방법을 이용해보자. 이 방법은 두 집합을 union 할 때, 작은 트리의 루트를 큰 트리의 루트의 자식으로 만들어버린다. 작은 트리가 큰 트리로 흡수되어야 시간 복잡도에 가장 큰 영향을 미치는 트리의 높이 h 값에 큰 영향이 없기 때문이다.
큰 트리의 높이가 이미 작은 트리보다 큰 상태라면, 높이가 전혀 변하지 않을 수도 있다.
이를 위해서는 각 트리의 크기(노드의 개수)를 계속 카운트하고 있어야 하는데, 시작부터 각 트리의 사이즈를 1로 초기화한 배열을 정의하고, 매번 업데이트 될 때마다 해당 사이즈를 업데이트 시켜주어야 한다.
이때, 어떤 트리의 높이가 h라는 말은 다시 말하자면 아래와 같이 해석될 수 있다.
최초에 높이가 1인 상태로 모두 시작한다.
어떤 트리의 높이가 2가 되었다는 말은 높이가 1에서 2로 상승했고, 노드의 개수도 2배 증가하였다는 것을 의미한다.
트리의 높이가 3이 되었다는 말은 높이가 2에서 3으로 증가했고, 노드의 개수는 다시 2배만큼 증가하였다는 의미한다.
이를 반복하자면 결국 높이가 h라는 말은 최소한 1부터 h번 union 연산을 진행했다는 뜻이고, 각 연산마다 노드의 개수가 2배가 되었다는 것을 의미한다.
따라서 높이가 h라면, 해당 트리의 노드 개수는 적어도 2^h보다는 많아진다는 의미이고 결국 노드의 개수 n을 가지는 트리에 대하여 높이는 logn 이 되고 이 높이는 곧 시간복잡도이므로 O(logn)이 된다.
findSet(g)에서 적용할 수 있는 방법
루트를 찾는 과정에서 현재 노드의 부모의 부모를 나의 루트로 삼는 연산을 반복한다면 전체 트리의 길이가 절반으로 줄어들게 된다.
또한 우선 루트 e를 찾고, 전체 노드에 대해서 모두 부모를 e로 바꾸는 방법도 있다. 그러면 트리의 길이가 눈에 띄게 줄어들고 시간복잡도 면에서도 훨씬 효율적이다.
결국, weighted union + path compression = WUPC 방법을 적용하여 kruscal 알고리즘을 사용한다면 시간복잡도는 원래에 비해 눈에 띄게 줄어들게 된다.
M번의 union-find 연산의 총 시간복잡도는 O(N+Mlog*N)이다.
log*N 은 log(log(log(logN)))... 을 반복했을 때, 1이 되는 횟수를 의미한다.
여기서 log*N의 표를 보자면, 많아봐야 log*N은 5이하로 거의 선형시간대를 기록하게 된다.
따라서 한번의 find-union 은 결국 O(1) 시간 정도로 거의 선형시간 알고리즘이 된다.
결국 시간복잡도를 보면,
최초로 초기화하는 시간이 O(1)
트리(집합)을 만드느라 전체 순회를 하는 시간이 O(n)
그리고 소팅하는 시간이 O(mlogm)
두 번의 findSets 와 한번의 Union 연산이 일어나지만, 각각의 시간복잡도가 선형시간대이므로, 결국 O(m) 의 시간이 소요된다.
위의 연산과정에서 최종적으로 시간복잡도에 가장 큰 영향을 미치는 것은 결국 O(mlogm)이고 이는 다시 표현하자면 O(mlogn)으로 표현할 수 있다.
엣지의 개수 m은 많아봐야 n(n-1)/2 개를 넘을 수 없으므로, mlogm = mlogn^2 = 2mlogn = mlogn
